parametric cubic

3d의 곡면과 곡선을 표현하는 방식은 2개가 있다.

1. 수학적 방정식을 이용하는것

   : 즉 모든 커브를 일일히 꺾이는 점을 계산해서 이 선을 하나의 다항식으로 만드는 방법

2. 사용자가 제공하는 데이터 포인트를 사용하는것(큐빅을 이용하는것)

   : 물체의 형식을 3차 다항식으로, 4개의 점을 사용한다.

   즉 하나의 곡선을 여러개의 곡선으로 나눠서 잘게 나누는것을 다시 합치는 방식을 의미한다.

parametric cubic curves는 결국 3차 다항식을 사용하는데, 물체의 곡선 조각을 3차 곡선으로 조각내서 전체적으로 부드럽게 이어서 하나의 형상을 만드는 방법이다.

위의 식이 이를 뜻하는 하나의 블랜디드 방정식을 의미 한다.

왜 x,y,z값이 존재하냐하면 우리가 그리고자 하는 곡선은 3차원에 존재하는 곡선이기 때문에 3개의 곡선의 방정식으로 3차원의 곡선을 표현해줄수 있기 때문이다.

parametric cubic curve

곡선을 3차 다항식으로 나타낼때, 4개의 계수가 존재한다.

곡선의 3차 다항식은 : at^3+bt^2+ct^1+d 이다.

하나의 곡선 방정식을 만들기 위해서는 필요한 것이 .

1. endpoints : 시작점과 끝점

2. tangent vectors : approximation

3. continuity

곡선의 개념

1. interpolation splines(보간 곡선)

   : 제시된 데이터 포인터를 정확히 지나는 곡선을 의미한다.

2. approximation splines(근사 곡선)

   : 제시된 데이터 포인터 근처를 지나는 곡선.

3. convex hull

   : 데이터 포인터를 이은 다각형을 의미한다. 두개의 end point와 2개의 조절점을 이은 다각형으로 이 안에서 선분이 존재하게 된다.

우리는 위의 곡선방정식을 통해서 하나의 곡선을 나누고 이를 합치는방식으로 다양한 물체를 표현하기로 하였다. 하지만 이때, 우리는 최대한의 곡선을 빠르게 계산하기 위해서 4차 방정식을 사용한 곡선을 만들었고, 이를 연결해줘야하는 일을 해줘야한다. 이때 곡선을 연결하는 방법에 대해서 알아야 한다.

곡선을 연결하는 방법(continuity)

1. parametric continuity condition
   1. zero order : 단순히 한 점에서 만나면 0차
   2. first order : 연결 점에서 접선의 기울기가 동일하고 tangent vector의 크기 동일해야함
   3. second order : 연결 점에서 1차 미분(기울기) 뿐만 아니라 2차의 미분(한번더 미분한 기울기)가 동일한 점을 의미한다.

   1차 미분은 기울기, 2차 미분은 변화율이다.

   이를 통해서 좀더 부드럽게 연결되게 할수 잇다.

2. geometric continuity condition
   1. g-zero : 한점에서 만나는 것
   2. g1-first : 한 점에서 만날때 그 접의 기울기가 동일하고, tangent vector 의 크기가 다름.
   3. g2-second : tangent vector이 동일하고, 한점에서 만나며, 2차 미분의 변화율의 비율이 동일한. 경우를 의미한다.

c1 > g1 : c1은 tangent의 크기와 방향이 동일해야하고, g1은 방향만 동일하면됨.

곡선을 만드는 방정식

곡선을 만드는 방법은 크게 2개가 존재한다.

1. hermite curve

2. bazier curve

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